2. ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей, M — середина AB, \(\overrightarrow{DA}=\vec a\), \(\overrightarrow{DC}=\vec b\). Выразите через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) следующие векторы: а) \(\overrightarrow{DB}\); б) \(\overrightarrow{DO}\); в) \(\overrightarrow{AC}\); г) \(\overrightarrow{DM}\).

Положим начало отсчёта в точке \(D\). Тогда положение точек задаётся векторами: \(A=\vec a\), \(C=\vec b\). В параллелограмме \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec b\), поэтому \(B=\vec a+\vec b\).

1. а) \(\overrightarrow{DB}=\vec a+\vec b\).
2. б) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{DO}=\frac12\overrightarrow{DB}=\frac12(\vec a+\vec b)\).
3. в) \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\vec b-\vec a\).
4. г) Так как \(M\) — середина \(AB\), \(\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\vec b\). Следовательно, \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: а) \(\vec a+\vec b\); б) \(\frac12(\vec a+\vec b)\); в) \(\vec b-\vec a\); г) \(\vec a+\frac12\vec b\).