2. ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей, M — середина BC. \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). Выразите через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\): а) \(\overrightarrow{AO}\); б) \(\overrightarrow{AC}\); в) \(\overrightarrow{BD}\); г) \(\overrightarrow{AM}\).

В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\). Диагональ параллелограмма делится точкой пересечения пополам.

1. \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b\), следовательно, \(\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12(\vec a+\vec b)\).
2. \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).
3. \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a\).
4. Так как M — середина BC, \(\overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec a+\frac12\vec b\).

Ответ: а) \(\frac12(\vec a+\vec b)\); б) \(\vec a+\vec b\); в) \(\vec b-\vec a\); г) \(\vec a+\frac12\vec b\).