2. ABCD — параллелограмм. Точки E и F лежат соответственно на BC и AD. Диагонали AC и BD и отрезок EF пересекаются в точке O. Доказать: OE = OF.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому O — середина диагонали BD.

Рассмотрим треугольник BDF. Точка O — середина его стороны BD. Так как BC ∥ AD, отрезок BO лежит на BD, а EF — на прямой через O, соединяющей точки на параллельных основаниях BC и AD; из рисунка следует, что E, O, F коллинеарны. Однако этих данных недостаточно, чтобы заключить, что O — середина EF: произвольный выбор E на BC и F на AD этого не гарантирует.

Для утверждения OE = OF нужно дополнительное условие, например, что EF проходит через точку пересечения диагоналей O и E, F расположены на параллельных сторонах, а сама прямая EF проходит через O. В таком случае равенство также не следует только из параллельности сторон и коллинеарности: требуется уточнить условие или чертёж.

Ответ: по указанным данным доказать OE = OF нельзя; необходимы дополнительные условия о расположении E и F.