2. ABCDA₁B₁C₁D₁ – правильная призма. AB = 6см, AA₁ = 8см. Найдите угол между прямыми AA₁ и BC; площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Угол между прямыми AA₁ и BC:

Так как призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Следовательно, прямая \( AA_1 \) перпендикулярна плоскости основания \( ABCD \).

Любая прямая, лежащая в плоскости основания и проходящая через точку \( A \) (например, \( AB \) или \( AD \)), образует с \( AA_1 \) прямой угол \( 90^{\circ} \).

Прямая \( BC \) лежит в плоскости основания. Для нахождения угла между \( AA_1 \) и \( BC \), нам нужно найти угол между \( AA_1 \) и любой прямой, параллельной \( BC \) и пересекающей \( AA_1 \).

В правильной призме боковое ребро \( AA_1 \) перпендикулярно плоскости основания. Значит, \( AA_1 \) перпендикулярно любой прямой в этой плоскости. В частности, \( AA_1 \) перпендикулярно \( BC \) (и \( AD \)).

Таким образом, угол между прямыми \( AA_1 \) и \( BC \) равен \( 90^{\circ} \).

2. Площадь полной поверхности призмы:

Полная поверхность призмы складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности.

а) Площадь основания (S_осн):

Основание призмы – квадрат \( ABCD \) со стороной \( AB = 6 \) см.

\[ S_{осн} = AB^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \]

б) Площадь боковой поверхности (S_бок):

Боковая поверхность правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Периметр основания \( P_{осн} = 4 \cdot AB = 4 \cdot 6 = 24 \) см.

Высота призмы \( h = AA_1 = 8 \) см.

\[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 8 = 192 \text{ см}^2 \]

в) Площадь полной поверхности (S_полн):

\[ S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 36 + 192 = 72 + 192 = 264 \text{ см}^2 \]

Ответ: Угол между прямыми AA₁ и BC равен 90°. Площадь полной поверхности призмы равна 264 см².