3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2√3 см, а высота равна 2 см. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основания, объём пирамиды. Ответ запишите в градусах.

Решение:

1. Объём пирамиды (V):

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) – площадь основания, \( h \) – высота.

а) Площадь основания (S_осн):

Основание – правильный треугольник со стороной \( a = 2\sqrt{3} \) см. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

\[ S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

б) Объём пирамиды:

Высота \( h = 2 \) см.

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

2. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания:

В правильной треугольной пирамиде вершина проецируется в центр основания – точку пересечения медиан (и высот, и биссектрис).

Пусть \( O \) – центр основания, \( H = 2 \) см – высота пирамиды. Пусть \( AB \) – одна из сторон основания, \( C \) – вершина пирамиды. Угол наклона бокового ребра \( CB \) к плоскости основания – это угол между \( CB \) и его проекцией на плоскость основания, то есть \( OB \). Нам нужно найти \( \angle CBO \).

Для этого нам нужно найти длину \( OB \). \( OB \) – это радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника. Формула для радиуса описанной окружности \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

\[ OB = R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( COB \) (где \( CO = h = 2 \) см, \( OB = 2 \) см).

Тангенс угла \( \angle CBO \) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[ \tan(\angle CBO) = \frac{CO}{OB} = \frac{2}{2} = 1 \]

Угол, тангенс которого равен 1, составляет \( 45^{\circ} \).

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°. Объём пирамиды равен 2√3 см³.