2. Аксиома параллельных прямых. Доказать следствия из аксиомы параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (Аксиома Евклида)

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых

1. Признак параллельности прямых: Если две прямые пересечены секущей, и сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
• Доказательство: Предположим, что прямые \( a \) и \( b \) не параллельны и пересекаются. Тогда они образуют треугольник, и сумма их внутренних углов будет меньше 180°. Это противоречит условию, что сумма односторонних углов равна 180°. Следовательно, прямые \( a \) и \( b \) параллельны.
2. Следствие о параллельности третьей прямой: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
• Доказательство: Пусть \( a ∥ c \) и \( b ∥ c \). Через точку пересечения \( a \) и \( b \) (если бы они пересекались) можно провести прямую, параллельную \( c \), что противоречит аксиоме параллельных прямых (через точку проходит только одна параллельная прямая). Значит, \( a ∥ b \).