(2 балла). Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC - равносторонние. Доказать: АВ || CD.

Доказательство:

По условию \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — равносторонние.

1. У всех углов равностороннего треугольника градусная мера равна \( 60^\circ \).
2. Следовательно, \( \angle BAC = 60^\circ \) и \( \angle CAD = 60^\circ \).
3. Угол \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
4. Также, \( \angle BCA = 60^\circ \) и \( \angle ACD = 60^\circ \).
5. Угол \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \).
6. Рассмотрим прямую \( AC \) и секущую \( BD \). Углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) являются накрест лежащими углами при прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \).
7. \( \angle BAC = 60^\circ \) и \( \angle ACD = 60^\circ \).
8. Так как \( \angle BAC = \angle ACD \), то \( AB \parallel CD \).

Что и требовалось доказать.