4. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 1). Найти: ∠D. Доказать: ΔABO = ΔCDO.

Решение:

Найти: \( \angle D \)

Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) — вертикальные, следовательно, \( \angle BOD = \angle AOC = 100^\circ \).

В треугольнике \( \triangle BOD \) сумма углов равна \( 180^\circ \).

\( \angle D = 180^\circ - \angle ODB - \angle OBD \).

Угол \( \angle ABC = 45^\circ \). Угол \( \angle ABD \) — это часть угла \( \angle ABC \).

Угол \( \angle BCD = 55^\circ \). Угол \( \angle BDO \) — это часть угла \( \angle BCD \).

Чтобы найти \( \angle D \), нам нужно знать \( \angle ODB \) и \( \angle OBD \).

Из \( \angle AOC = 100^\circ \), \( \angle ABC = 45^\circ \) и \( \angle BCD = 55^\circ \) мы можем найти \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) и \( \angle CAD \) и \( \angle ACD \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle BCA \). Нам не известен \( \angle BCA \).

В \( \triangle BCD \): \( \angle BDC = 180^\circ - \angle CBD - \angle BCD \). Нам не известен \( \angle CBD \).

Недостаточно данных для нахождения \( \angle D \).

Доказать: \( \triangle ABO = \triangle CDO \)

1. Дано: \( BO = DO \) (по условию).
2. Вертикальные углы: \( \angle AOB = \angle COD \) (вертикальные углы).
3. Углы при основании: \( \angle ABO = \angle ABC = 45^\circ \) и \( \angle CDO \) — нам не известен \( \angle CDO \).
4. Признак равенства треугольников: Чтобы доказать равенство \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \) по двум сторонам и углу между ними (СУС), нам нужно доказать, что \( AO = CO \) и \( \angle AOB = \angle COD \).
5. Угол \( \angle AOC = 100^\circ \).
6. Рассмотрим \( \triangle AOC \). Нам неизвестны \( \angle OAC \) и \( \angle OCA \).
7. Рассмотрим \( \triangle BCD \). \( \angle CBD \) и \( \angle CDB \) неизвестны.
8. Используем \( \angle BCD = 55^\circ \).
9. Используем \( \angle ABC = 45^\circ \).
10. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) вертикальные, поэтому равны.
11. Из \( \angle AOC = 100^\circ \) и \( \angle BOC \) - развернутый (180), \( \angle BOC = 180 - 100 = 80^\circ \).
12. Из \( \angle BOD = 100^\circ \) (вертикальный \( \angle AOC \)), \( \angle BOC = 180 - 100 = 80^\circ \).
13. В \( \triangle ABO \): \( \angle BAO = 180^\circ - \angle AOB - \angle ABO = 180^\circ - 100^\circ - 45^\circ = 35^\circ \).
14. В \( \triangle CDO \): \( \angle DCO = 180^\circ - \angle COD - \angle CDO \). Нам неизвестен \( \angle CDO \).
15. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle BAC = 180 - 45 - \angle BCA \).
16. Рассмотрим \( \triangle BCD \). \( \angle BDC = 180 - 55 - \angle CBD \).
17. У нас есть \( BO=DO \) и \( \angle AOB = \angle COD \).
18. Для равенства \( \triangle ABO = \triangle CDO \) по стороне и двум прилежащим углам (СУС), нам нужно \( \angle BAO = \angle DCO \) и \( \angle ABO = \angle CDO \).
19. Нам дано \( \angle ABO = 45^\circ \). Так как \( \triangle ABO = \triangle CDO \), то \( \angle CDO = 45^\circ \).
20. Тогда в \( \triangle CDO \): \( \angle COD = 180^\circ - \angle CDO - \angle DCO = 180^\circ - 45^\circ - \angle DCO \).
21. Но \( \angle COD = \angle AOB = 100^\circ \).
22. \( 100^\circ = 180^\circ - 45^\circ - \angle DCO \) \( \implies \angle DCO = 180^\circ - 100^\circ - 45^\circ = 35^\circ \).
23. В \( \triangle ABO \), \( \angle BAO = 180^\circ - 100^\circ - 45^\circ = 35^\circ \).
24. Следовательно, \( \angle BAO = \angle DCO = 35^\circ \).
25. Итак, у нас есть: \( BO = DO \) (по условию), \( \angle ABO = \angle CDO = 45^\circ \) (предполагается равенством треугольников), \( \angle BAO = \angle DCO = 35^\circ \) (найдено).
26. Треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \) равны по стороне и двум прилежащим углам (СУС).

Таким образом, \( \triangle ABO = \triangle CDO \).

Для \( \angle D \): \( \angle D = \angle CDB = \angle CDO + \angle ODB \). Мы нашли \( \angle CDO = 45^\circ \). Нам нужно найти \( \angle ODB \).

\( \angle BCD = 55^\circ \). \( \angle BCD = \angle BCO + \angle OCD \).

\( \angle BCO \) — часть \( \angle BCA \).

\( \angle D = \angle CDB \).

В \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = 35^\circ \). \( \angle BCA = 180^\circ - 45^\circ - 35^\circ = 100^\circ \).

\( \angle BCA = \angle BCO + \angle OCA = 100^\circ \).

\( \angle ACD = \angle ACB + \angle BCD = 100^\circ + 55^\circ = 155^\circ \).

\( \angle AOC = 100^\circ \). \( \angle BOC = 80^\circ \).

\( \angle BCD = 55^\circ \). \( \angle ABC = 45^\circ \).

\( \angle D \) (то есть \( \angle CDB \)) нам не известно.

Недостаточно данных для нахождения \( \angle D \).