2. BCKM — прямоугольник. В(-4; 1); М(3; 1); К(3; 7). Построить данный прямоугольник. А) Каковы координаты точки С?; б) Провести диагонали прямоугольника СМ и ВК, точку их пересечения обозначить А. Какие координаты имеет точка А? В) Считая единичный отрезок равным 1см. Вычислить периметр и площадь прямоугольника.

Решение:

А) Координаты точки С:

Так как BCKM — прямоугольник, то противоположные стороны параллельны и равны. Также векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{MK}\) равны, а векторы \(\vec{BM}\) и \(\vec{CK}\) равны.

Для нахождения координат точки С, рассмотрим векторы:

\(\vec{BM} = (3 - (-4); 1 - 1) = (7; 0)\)

\(\vec{CK} = (3 - x_C; 7 - y_C)\)

Приравнивая соответствующие компоненты, получим:

\(3 - x_C = 7 → x_C = 3 - 7 = -4\)

\(7 - y_C = 0 → y_C = 7\)

Следовательно, координаты точки С: (-4; 7).

Б) Координаты точки пересечения диагоналей А:

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали. Найдем середину диагонали ВК:

\(x_A = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

\(y_A = \frac{2 + 7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\)

Координаты точки А: (1; 4.5).

В) Периметр и площадь прямоугольника:

Найдем длины сторон прямоугольника. Длина стороны BM:

\(BM = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{7^2 + 0^2} = 7\) см.

Длина стороны BK:

\(BK = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\) см.

Периметр прямоугольника:

\(P = 2(BM + BK) = 2(7 + \sqrt{41}) = 14 + 2\sqrt{41}\) см.

Площадь прямоугольника:

\(S = BM \cdot BK = 7 \cdot \sqrt{41}\) см².

Ответ: А) С(-4; 7); Б) А(1; 4.5); В) Периметр: \(14 + 2\sqrt{41}\) см, Площадь: \(7\sqrt{41}\) см².