2. Через сторону AC треугольника ABC проведена плоскость α. B ∉ α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон AB и BC, параллельна плоскости α.

Пусть M и N — середины сторон AB и BC соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому по теореме о средней линии треугольника MN ∥ AC.
2. Прямая AC лежит в плоскости α. Прямая MN не лежит в α: иначе точки M и A, принадлежащие α и прямой AB, заставили бы AB лежать в α, а значит, и точку B включили бы в α. Это противоречит условию B ∉ α.
3. Прямая, параллельная прямой плоскости и не лежащая в этой плоскости, параллельна плоскости. Следовательно, MN ∥ α.

Что и требовалось доказать.