2. Через точку P, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены две прямые. Эти прямые пересекают плоскость α в точках A₁, A₂, плоскость β — в точках B₁, B₂. Найдите длину отрезка B₁B₂, если A₁A₂ = 6 см и PA₁ : A₁B₁ = 3 : 2.

Возможны два расположения плоскостей относительно P, и условие допускает оба. Параллельное проектирование с центром P переводит A₁A₂ в B₁B₂; коэффициент подобия равен отношению расстояний от P до плоскостей.

Случай 1. На прямой точки расположены в порядке P, A₁, B₁. Пусть PA₁ = 3k, A₁B₁ = 2k. Тогда PB₁ = 5k, поэтому коэффициент подобия равен \(PB₁/PA₁=5/3\). Следовательно, B₁B₂ = \(6\cdot5/3=10\) см.

Случай 2. Точки расположены в порядке P, B₁, A₁. Тогда PB₁ = PA₁ − A₁B₁ = 3k − 2k = k, и коэффициент подобия равен \(PB₁/PA₁=1/3\). Следовательно, B₁B₂ = \(6\cdot1/3=2\) см.

Оба случая совместимы с условием «P не лежит между плоскостями».

Ответ: 2 см или 10 см — в зависимости от расположения плоскостей.