Ответ:

Перевод задания: Выберите правильный вариант. Родители разрешили Тому ... допоздна на игровой площадке.

The parents allowed Tom to stay late at the playground. (Родители разрешили Тому остаться допоздна на игровой площадке.)

После конструкции allow someone используется инфинитив с to: allow Tom to stay.