2. Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AD_1$ и $BM$, где $M$ — середина ребра $DD_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AD_1$ и $BM$, где $M$ — середина ребра $DD_1$.$ Фото задания

2. Дан куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AD_1$ и $BM$, где $M$ — середина ребра $DD_1$.

Accepted Answer

Пусть ребро куба равно $a$. Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $D_1(0,a,a)$. Тогда середина ребра $DD_1$ — точка $M(0,a,\frac a2)$.

Направляющие векторы прямых можно взять такими:

$\overrightarrow{AD_1}=(0,a,a)$, $\overrightarrow{BM}=(-a,a,\frac a2)$.

Их скалярное произведение равно $\frac32a^2$, а длины — $a\sqrt2$ и $\frac32a$. Поэтому косинус угла между прямыми равен

$\frac{|\overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{AD_1}|\,|\overrightarrow{BM}|}=\frac{\frac32a^2}{a\sqrt2\cdot\frac32a}=\frac1{\sqrt2}$.

Следовательно, угол равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

2. Дан куб \(ABCD A_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(AD_1\) и \(BM\), где \(M\) — середина ребра \(DD_1\).

Ответ: