3. При движении прямая $a$ отображается на прямую $a_1$, а плоскость $\alpha$ — на плоскость $\alpha_1$. Докажите, что если $a\parallel\alpha$, то $a_1\parallel\alpha_1$. ИЛИ Дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. При симметрии относительно плоскости $ABC$ точка $D$ перешла в точку $D_1$. Найдите $DD_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. При движении прямая $a$ отображается на прямую $a_1$, а плоскость $\alpha$ — на плоскость $\alpha_1$. Докажите,…$ Фото задания

3. При движении прямая $a$ отображается на прямую $a_1$, а плоскость $\alpha$ — на плоскость $\alpha_1$. Докажите, что если $a\parallel\alpha$, то $a_1\parallel\alpha_1$. ИЛИ Дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. При симметрии относительно плоскости $ABC$ точка $D$ перешла в точку $D_1$. Найдите $DD_1$.

Accepted Answer

Первый вариант. Движение является взаимно однозначным преобразованием, сохраняющим принадлежность и непринадлежность точек объектам. Если $a\parallel\alpha$, то прямая $a$ не пересекает плоскость $\alpha$. Значит, их образы $a_1$ и $\alpha_1$ также не пересекаются. Прямая, не пересекающая плоскость в пространстве, параллельна ей. Следовательно, $a_1\parallel\alpha_1$.

Второй вариант. При симметрии относительно плоскости $ABC$ эта плоскость является серединным перпендикуляром к отрезку $DD_1$. Поэтому $DD_1$ равен удвоенной высоте правильного тетраэдра.

Основание — равносторонний треугольник со стороной $a$. Его высота равна $\frac{a\sqrt3}{2}$, а расстояние от центра основания до вершины равно двум третям этой высоты: $\frac{a\sqrt3}{3}$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $a$ находим высоту тетраэдра $h$:

$h^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2=a^2$, значит, $h=\frac{a\sqrt6}{3}$.

Следовательно, $DD_1=2h=\frac{2a\sqrt6}{3}$.

Ответ для второго варианта: $DD_1=\frac{2a\sqrt6}{3}$.

Ответ: