2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, отмечена точка M — центр грани AA₁D₁D. Найдите угол между прямыми A₁D₁ и D₁D. Найдите угол между прямыми BM и B₁C.

В кубе ребро \(A_1D_1\) перпендикулярно ребру \(D_1D\), поскольку это смежные рёбра одной квадратной грани. Поэтому угол между ними равен \(90^\circ\).

Для второй пары зададим куб координатами: \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(D=(0,1,0)\), \(A_1=(0,0,1)\). Тогда \(B_1=(1,0,1)\), \(C=(1,1,0)\), \(D_1=(0,1,1)\), а центр грани \(AA_1D_1D\) — \(M=(0;0.5;0.5)\).

Направляющие векторы можно взять такими: \(\overrightarrow{BM}=(-1;0.5;0.5)\), \(\overrightarrow{B_1C}=(0;1;-1)\). Их скалярное произведение равно \(0\cdot(-1)+0.5\cdot1+0.5\cdot(-1)=0\), значит, прямые перпендикулярны.

Ответ: \(\angle(A_1D_1,D_1D)=90^\circ\); \(\angle(BM,B_1C)=90^\circ\).