3. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 2√2 и боковым ребром 2. Найдите угол между прямыми AB₁ и CA₁.

Расположим равностороннее основание в плоскости \(z=0\): \(A=(0;0;0)\), \(B=(2\sqrt2;0;0)\), \(C=(\sqrt2;\sqrt6;0)\). Боковые рёбра перпендикулярны основанию и равны 2, поэтому \(A_1=(0;0;2)\), \(B_1=(2\sqrt2;0;2)\).

Направляющие векторы прямых:

\(\overrightarrow{AB_1}=(2\sqrt2;0;2)\), \(\overrightarrow{CA_1}=(-\sqrt2;-\sqrt6;2)\).

Их скалярное произведение равно \((2\sqrt2)(-\sqrt2)+0+2\cdot2=-4+4=0\). Следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: \(90^\circ\).