2. Дан прямоугольный треугольник ABC; точка M лежит вне плоскости ABC, CM ⟂ (ABC), ∠BCA = 90°. Докажите, что AC ⟂ (MBC), и найдите AC, если AB = 10, BC = 8.

Понимаю не вполне разборчивое условие о перпендикулярности как CM ⟂ (ABC), а данные для вычисления — как AB = 10 и BC = 8.

1. Поскольку ∠BCA = 90°, AC ⟂ BC.

2. Из CM ⟂ (ABC) следует, что AC ⟂ CM, так как AC лежит в плоскости ABC.

3. Прямые BC и CM пересекаются и лежат в плоскости MBC. Так как AC перпендикулярна обеим этим прямым, AC ⟂ (MBC).

4. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = 10, катет BC = 8. По теореме Пифагора: AC² = AB² − BC² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36, поэтому AC = 6.

Ответ: AC ⟂ (MBC); AC = 6.