3. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), точка M — середина AC. Через точку M проведена прямая MO, перпендикулярная плоскости ABC. Докажите, что BM ⟂ (AMO).

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Медиана BM, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, перпендикулярна основанию: BM ⟂ AC. Поскольку A и M лежат на AC, получаем BM ⟂ AM.

Из условия MO ⟂ (ABC), а BM лежит в плоскости ABC, следовательно, BM ⟂ MO.

Прямые AM и MO пересекаются и лежат в плоскости (AMO). Прямая BM перпендикулярна обеим, значит, BM ⟂ (AMO).