2. Дан прямоугольный треугольник ABC, точка M лежит вне плоскости ABC, так что CM ⟂ CA и ∠BCA = 90°. Докажите: AC ⟂ (MBC) и AC = 6, если по условию MA = 10, MC = 8.

Решение.

1. В плоскости (MBC) лежат пересекающиеся прямые BC и CM. Из ∠BCA = 90° следует, что AC ⟂ BC; по условию AC ⟂ CM.
2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Значит, AC ⟂ (MBC).
3. В треугольнике AMC угол при C прямой, поэтому MA — гипотенуза. По теореме Пифагора: \(AC^2=MA^2-MC^2=10^2-8^2=100-64=36\), откуда \(AC=6\).

Ответ: AC ⟂ (MBC); AC = 6.