2. Дан прямоугольный треугольник ABC. Точка M лежит вне плоскости ABC, так что CM ⟂ CA и ∠BCM = 90°. Докажите, что CM ⟂ (ABC), и найдите AC, если MA = 10, MC = 8.

Из ∠BCM = 90° следует, что CM ⟂ CB. По условию также CM ⟂ CA. Прямые CA и CB пересекаются в точке C и лежат в плоскости (ABC). Поэтому прямая CM, перпендикулярная двум пересекающимся прямым этой плоскости, перпендикулярна плоскости: CM ⟂ (ABC).

Так как AC лежит в плоскости (ABC), то AC ⟂ CM. Следовательно, треугольник AMC прямоугольный с гипотенузой MA. По теореме Пифагора:

\(AC^2 = MA^2 - MC^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36\), поэтому \(AC = 6\).

Ответ: CM ⟂ (ABC); AC = 6.