2. Дан тетраэдр DABC. Точка P – середина ребра AB, точка R – середина отрезка CP. Выразите вектор DR через векторы DA=a, DB=b, DC = c.

Привет! Давай разберемся с этой задачей шаг за шагом.

У нас есть тетраэдр DABC, и нам нужно выразить вектор $$\vec{DR}$$.

Что нам дано:

• P — середина ребра AB.
• R — середина отрезка CP.
• Векторы: $$\vec{DA} = \vec{a}$$, $$\vec{DB} = \vec{b}$$, $$\vec{DC} = \vec{c}$$.

Наша цель: выразить $$\vec{DR}$$ через $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$.

Шаг 1: Выразим вектор $$\vec{DP}$$

Так как P — середина отрезка AB, то вектор $$\vec{DP}$$ будет равен полусумме векторов $$\vec{DA}$$ и $$\vec{DB}$$ (если рассматривать точку D как начало отсчета).

$$\vec{DP} = \frac{1}{2}(\vec{DA} + \vec{DB}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$

Шаг 2: Выразим вектор $$\vec{DR}$$

R — середина отрезка CP. Это значит, что вектор $$\vec{DR}$$ будет равен полусумме векторов $$\vec{DC}$$ и $$\vec{DP}$$ (опять же, относительно точки D).

$$\vec{DR} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{DP})$$

Шаг 3: Подставим выражение для $$\vec{DP}$$

Теперь подставим найденное выражение для $$\vec{DP}$$ во второе уравнение:

$$\vec{DR} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}))$$

Шаг 4: Упростим выражение

Раскроем скобки и упростим:

$$\vec{DR} = \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$$

$$\vec{DR} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$$

Ответ: Вектор $$\vec{DR}$$ выражается через данные векторы как $$\boldsymbol{\frac{1}{4}}\boldsymbol{\vec{a}} + \boldsymbol{\frac{1}{4}}\boldsymbol{\vec{b}} + \boldsymbol{\frac{1}{2}}\boldsymbol{\vec{c}}$$.