4. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед. Точка Е лежит на ребре DC так, что DE: EC = 1: 4, а F є СВ1, причем CF : FB1 = 2 : 3. Разложите вектор EF по векторам DA, DC и DD₁.

Привет! Давай разложим этот вектор шаг за шагом.

Что нам дано:

• Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Точка E на ребре DC так, что DE : EC = 1 : 4.
• Точка F на ребре CB₁ так, что CF : FB₁ = 2 : 3.
• Нужно разложить вектор $$\vec{EF}$$ по векторам $$\vec{DA}$$, $$\vec{DC}$$, $$\vec{DD₁}$$.

Шаг 1: Представим векторы как разность.

Чтобы разложить $$\vec{EF}$$, удобно представить его как разность векторов, исходящих из одной точки, например:

$$\vec{EF} = \vec{DF} - \vec{DE}$$

Или, если удобнее использовать начало координат, например, точку D:

$$\vec{EF} = \vec{DF} - \vec{DE}$$

Шаг 2: Найдем вектор $$\vec{DE}$$.

Точка E лежит на ребре DC, и DE : EC = 1 : 4. Это значит, что весь отрезок DC делится на 1 + 4 = 5 частей.

Следовательно, $$\vec{DE} = \frac{1}{5}\vec{DC}$$.

Шаг 3: Найдем вектор $$\vec{DF}$$.

Точка F лежит на ребре CB₁. Нам дано отношение CF : FB₁ = 2 : 3. Это значит, что отрезок CB₁ делится на 2 + 3 = 5 частей.

Чтобы выразить $$\vec{DF}$$, мы можем пойти от точки D к F. Можно использовать путь $$D \to C \to B₁ \to F$$ или $$D \to A \to B \to B₁ \to F$$.

Воспользуемся путем $$D \to C \to B₁ \to F$$.

$$\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{CB₁} + \vec{B₁F}$$.

В параллелепипеде $$\vec{CB₁} = \vec{DA}$$.

Теперь найдем $$\vec{B₁F}$$. Из условия CF : FB₁ = 2 : 3, и всего отрезка CB₁ = 5 частей. Значит, $$FB₁ = \frac{3}{5}CB₁$$.

Вектор $$\vec{B₁F}$$ противоположен вектору $$\vec{FB₁}$$, поэтому $$\vec{B₁F} = -\vec{FB₁} = -\frac{3}{5}\vec{CB₁}$$.

Подставляем:

$$\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{DA} - \frac{3}{5}\vec{CB₁}$$.

Поскольку $$\vec{CB₁} = \vec{DA}$$, то:

$$\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{DA} - \frac{3}{5}\vec{DA}$$

$$\vec{DF} = \vec{DC} + (1 - \frac{3}{5})\vec{DA}$$

$$\vec{DF} = \vec{DC} + \frac{2}{5}\vec{DA}$$

Шаг 4: Вычислим $$\vec{EF}$$.

Теперь подставим найденные векторы $$\vec{DE}$$ и $$\vec{DF}$$ в исходное выражение $$\vec{EF} = \vec{DF} - \vec{DE}$$:

$$\vec{EF} = (\vec{DC} + \frac{2}{5}\vec{DA}) - \frac{1}{5}\vec{DC}$$

$$\vec{EF} = \vec{DC} - \frac{1}{5}\vec{DC} + \frac{2}{5}\vec{DA}$$

$$\vec{EF} = (1 - \frac{1}{5})\vec{DC} + \frac{2}{5}\vec{DA}$$

$$\vec{EF} = \frac{4}{5}\vec{DC} + \frac{2}{5}\vec{DA}$$

Шаг 5: Проверим, все ли векторы использованы.

Нам нужно разложить $$\vec{EF}$$ по векторам $$\vec{DA}$$, $$\vec{DC}$$ и $$\vec{DD₁}$$. Мы получили разложение только по $$\vec{DA}$$ и $$\vec{DC}$$. Это значит, что коэффициент при $$\vec{DD₁}$$ равен нулю.

$$\vec{EF} = \frac{2}{5}\vec{DA} + \frac{4}{5}\vec{DC} + 0 · \vec{DD₁}$$

Ответ: Вектор $$\vec{EF}$$ раскладывается по векторам $$\vec{DA}$$, $$\vec{DC}$$ и $$\vec{DD₁}$$ следующим образом: $$\boldsymbol{\frac{2}{5}}\boldsymbol{\vec{DA}} + \boldsymbol{\frac{4}{5}}\boldsymbol{\vec{DC}} + \boldsymbol{0}\boldsymbol{\vec{DD₁}}$$.