2) Дан треугольник ABC. Точка M лежит вне плоскости ABC, причём CM ⟂ CA и ∠BCA = 90°. Докажите, что AC ⟂ (MBC), и найдите AC, если AB = 10, [неясно: BC или MC] = 8.

В последнем условии на фотографии не вполне ясно, какое дано равенство: BC = 8 или MC = 8. Перпендикулярность доказывается в обоих случаях.

1. Из ∠BCA = 90° следует, что AC ⟂ BC. Также CM ⟂ CA дано.
2. BC и CM — пересекающиеся прямые плоскости (MBC). Так как AC перпендикулярна обеим, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AC ⟂ (MBC).

Если дано BC = 8, то ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB = 10. По теореме Пифагора: \(AC^2=AB^2-BC^2=10^2-8^2=36\), откуда AC = 6.

Если дано MC = 8, длину AC определить нельзя: значения AB и MC не задают длину BC, а значит, не позволяют найти катет AC в прямоугольном треугольнике ABC.

Ответ: AC ⟂ (MBC); если BC = 8, то AC = 6. Если MC = 8, данных для нахождения AC недостаточно.