2. Дан треугольник АВС. На продолжении сторон АВ и ВС за вершину В отмечены точки К и М соответственно. Угол КВM=30°. Угол А в 3 раза больше угла С. Найти угол, смежный с углом С.

Решение:

В этой задаче есть неточность в условии: угол КВМ, образованный продолжениями сторон АВ и ВС за вершину В, будет равен углу АВС, так как они вертикальные. Если угол КВМ = 30°, то угол АВС = 30°. Однако, если КВМ — это внешний угол, то условие имеет смысл. Будем считать, что КВМ — смежный с углом АВС. Тогда угол АВС = \( 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \). Но в треугольнике сумма углов должна быть 180°, и угол АВС не может быть 150°, если угол А в 3 раза больше угла С.

Предположим, что \( \angle KBM \) — это угол, смежный с \( \angle ABC \), и \( \angle KBM = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \). Это невозможно для треугольника.

Возможно, в условии задачи опечатка, и \( \angle KBM \) является смежным с \( \angle ABC \) и равен \( 180^{\circ} - 30^{\circ} \) или \( \angle ABC = 30^{\circ} \).

Если \( \angle ABC = 30^{\circ} \), то:

1. Сумма углов \( \angle A \) и \( \angle C \) в треугольнике ABC равна \( 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).
2. Пусть \( \angle C = x \). Тогда \( \angle A = 3x \).
3. \( 3x + x = 150^{\circ} \)
4. \( 4x = 150^{\circ} \)
5. \( x = \frac{150^{\circ}}{4} = 37.5^{\circ} \).
6. \( \angle C = 37.5^{\circ} \).
7. Угол, смежный с углом С, равен \( 180^{\circ} - 37.5^{\circ} = 142.5^{\circ} \).

Ответ: 142.5°.