2. Дана призма с правильным шестиугольником A₁A₂A₃A₄A₅A₆ в основании. Сторона основания равна 4. Угол между A₆A₆′ и диагональю A₆A₄′ равен 30°. Найти объём призмы.

В правильном шестиугольнике диагональ между вершинами через одну равна \(A_6A_4=4\sqrt{3}\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вертикальным катетом \(A_6A_6′=h\) и горизонтальной проекцией диагонали \(A_6A_4=4\sqrt{3}\). По углу 30°: \(\tan 30°=\frac{4\sqrt{3}}{h}\), поэтому \(h=12\).

Площадь правильного шестиугольника: \(S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot4^2=24\sqrt{3}\).

Тогда \(V=S_{\text{осн}}h=24\sqrt{3}\cdot12=288\sqrt{3}\).

Ответ: \(288\sqrt{3}\) куб. ед.