2. Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Точка P лежит на ребре AB так, что AP : PB = 2 : 1, точка Q — на ребре BC, причём BQ : QC = 1 : 3, точка R — на боковом ребре CC₁ и делит его в отношении CR : RC₁ = 1 : 1. Построй сечение призмы плоскостью PQR методом следов. Укажи количество сторон полученного сечения.

Возьмём основание ABC в плоскости z = 0, а верхнее основание — в плоскости z = 1. Тогда P делит AB в отношении 2 : 1, Q делит BC в отношении 1 : 3, а R — середина CC₁.

След плоскости на нижнем основании — отрезок PQ. На грани ACC₁A₁ плоскость пересекает ребро AA₁ в точке T, где AT : AA₁ = 1 : 3; след на этой грани — RT. След на грани BCC₁B₁ соединяет Q и R. Поэтому вершины сечения идут в порядке P–Q–R–T–P.

Например, при A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 1; 0) уравнение плоскости PQR имеет вид 3x − y + 6z = 2; на ребре AA₁ оно даёт z = 1/3.

Ответ: сечение — четырёхугольник PQRT, у него 4 стороны.