№ 2. Дано: ⌒AB : ⌒BC = 3 : 5 (рис. 8.179). Угол ABC равен 60°. Найти: ∠BCA, ∠BAC.

Вписанный угол \(\angle ABC=60^\circ\) опирается на дугу AC, не содержащую B. Поэтому эта дуга равна \(2\cdot60^\circ=120^\circ\).

Оставшиеся дуги AB и BC вместе составляют \(360^\circ-120^\circ=240^\circ\). Их отношение равно 3 : 5, значит, одна доля равна \(240^\circ:(3+5)=30^\circ\). Тогда дуга AB равна \(3\cdot30^\circ=90^\circ\), а дуга BC — \(5\cdot30^\circ=150^\circ\).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: \(\angle BCA=90^\circ:2=45^\circ\), \(\angle BAC=150^\circ:2=75^\circ\).

Ответ: ∠BCA = 45°, ∠BAC = 75°.