2. Дано: ABCD — прямоугольник; ∠ADB : ∠CDB = 4 : 5. Найти углы треугольника AOB.

Диагональ DB делит прямой угол ADC на два угла, поэтому ∠ADB + ∠CDB = 90°.

1. Пусть ∠ADB = 4x, а ∠CDB = 5x. Тогда 4x + 5x = 90°, откуда x = 10°.
2. Следовательно, ∠ADB = 40°, ∠CDB = 50°.
3. В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому OA = OB. Треугольник AOB равнобедренный.
4. Угол при вершине A равен углу между диагональю AC и стороной AB: ∠OAB = 50°. Поэтому ∠ABO = 50°.
5. ∠AOB = 180° − 50° − 50° = 80°.

Ответ: ∠OAB = 50°, ∠ABO = 50°, ∠AOB = 80°.