2. Дано: ABCD — прямоугольник (рисунок 5), CE ⟂ BD, CD = 10 см, DE : OC = 1 : 2. Найти диагонали прямоугольника.

Пусть диагональ прямоугольника равна d. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OC = d/2. Из DE : OC = 1 : 2 следует DE = d/4.

В прямоугольном треугольнике CDB высота CE опущена на гипотенузу BD. По теореме о катете CD² = DE · BD.

Подставим CD = 10 и DE = d/4, BD = d:

100 = (d/4) · d, откуда d² = 400 и d = 20 см.

Диагонали прямоугольника равны, поэтому AC = BD = 20 см.

Ответ: AC = BD = 20 см.