3. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол 120°. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Обозначим острый угол при большем основании через \(\alpha\). Пусть боковая сторона равна меньшему основанию и равна \(a\).

Опустим высоту. В образовавшемся прямоугольном треугольнике горизонтальная проекция боковой стороны равна \(a\cos\alpha\), а высота — \(a\sin\alpha\).

Угол между диагональю и боковой стороной равен \(120^\circ\). Поэтому угол между диагональю и большим основанием равен \(60^\circ-\alpha\). Из условия равенства боковой стороны меньшему основанию следует, что этот угол равен \(\frac{\alpha}{2}\).

Получаем уравнение:

\(\alpha+\frac{\alpha}{2}=60^\circ\),

\(\frac{3\alpha}{2}=60^\circ\),

\(\alpha=40^\circ\).

Углы при одной боковой стороне в трапеции в сумме дают \(180^\circ\):

\(180^\circ-40^\circ=140^\circ\).

Ответ: два угла по \(40^\circ\) и два угла по \(140^\circ\).