2. Дано: cos α = 4/5, sin β = -5/13, 0 < α < π/2, π < β < 3π/2. Найдите sin(α - β).

2. Дано:

\(\cos \alpha = \frac{4}{5}\), \(\sin \beta = -\frac{5}{13}\), \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), \(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\).

Краткое пояснение: Для нахождения \(\sin(\alpha - \beta)\) воспользуемся формулой \(\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\). Для этого необходимо найти \(\sin \alpha\) и \(\cos \beta\), используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) и учитывая знаки функций в заданных четвертях.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим \(\sin \alpha\).

   Так как \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), \(\alpha\) находится в первой четверти, где синус положителен.

   \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

   \(\sin^2 \alpha + (\frac{4}{5})^2 = 1\)

   \(\sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1\)

   \(\sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\)

   \(\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\) (так как \(\sin \alpha > 0\) в первой четверти).

2. Шаг 2: Находим \(\cos \beta\).

   Так как \(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\), \(\beta\) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.

   \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\)

   \((-\frac{5}{13})^2 + \cos^2 \beta = 1\)

   \(\frac{25}{169} + \cos^2 \beta = 1\)

   \(\cos^2 \beta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\)

   \(\cos \beta = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}\) (так как \(\cos \beta < 0\) в третьей четверти).

3. Шаг 3: Вычисляем \(\sin(\alpha - \beta)\).

   Используем формулу разности синусов:

   \(\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\)

   Подставляем найденные значения:

   \(\sin(\alpha - \beta) = (\frac{3}{5})(-\frac{12}{13}) - (\frac{4}{5})(-\frac{5}{13})\)

   \(\sin(\alpha - \beta) = -\frac{36}{65} - (-\frac{20}{65})\)

   \(\sin(\alpha - \beta) = -\frac{36}{65} + \frac{20}{65}\)

   \(\sin(\alpha - \beta) = \frac{-36 + 20}{65} = -\frac{16}{65}\)

Ответ: \(-\frac{16}{65}\)