4. Решите уравнение: 1) 3sin²x + 6,5cosx - 4 = 0; 2) 4cos²x + 5sin 2x - 10sin²x = 2

4. Решите уравнение:

1. Уравнение: \(3\sin^2 x + 6.5\cos x - 4 = 0\)

   Краткое пояснение: Для решения этого уравнения преобразуем \(\sin^2 x\) через \(\cos^2 x\) с помощью основного тригонометрического тождества \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы получить квадратное уравнение относительно \(\cos x\).

   Пошаговое решение:

   1. Шаг 1: Заменяем \(\sin^2 x\).

      \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\).

      Подставляем в уравнение:

      \(3(1 - \cos^2 x) + 6.5\cos x - 4 = 0\)

   2. Шаг 2: Раскрываем скобки и приводим подобные члены.

      \(3 - 3\cos^2 x + 6.5\cos x - 4 = 0\)

      \(-3\cos^2 x + 6.5\cos x - 1 = 0\)

      Умножаем на -1 для удобства:

      \(3\cos^2 x - 6.5\cos x + 1 = 0\)

   3. Шаг 3: Вводим замену переменной.

      Пусть \(t = \cos x\). Так как \(-1 \le \cos x \le 1\), то \(-1 \le t \le 1\).

      Уравнение становится:

      \(3t^2 - 6.5t + 1 = 0\)

   4. Шаг 4: Решаем квадратное уравнение.

      Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-6.5)^2 - 4(3)(1) = 42.25 - 12 = 30.25\).

      \(√ D = √ 30.25 = 5.5\).

      Корни уравнения:

      \(t_1 = rac{-b + √ D}{2a} = rac{6.5 + 5.5}{2  3} = rac{12}{6} = 2\).

      \(t_2 = rac{-b - √ D}{2a} = rac{6.5 - 5.5}{2  3} = rac{1}{6}\).

   5. Шаг 5: Возвращаемся к исходной переменной \(x\).

      Из полученных корней \(t_1 = 2\) и \(t_2 = \frac{1}{6}\), только \(t_2 = \frac{1}{6}\) удовлетворяет условию \(-1 ≤ t ≤ 1\).

      \(\\cos x = \frac{1}{6}\).

      Отсюда находим \(x\):

      \(x =  \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi n\), где \(n \in ℤ\).

   Ответ: \(x =  \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi n\), где \(n \in ℤ\).

2. Уравнение: \(4\cos^2 x + 5\sin 2x - 10\sin^2 x = 2\)

   Краткое пояснение: Преобразуем уравнение, используя формулу \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) и основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), чтобы свести его к однородному уравнению.

   Пошаговое решение:

   1. Шаг 1: Заменяем 2 и \(\sin 2x\).

      Заменим \(2\) на \(2(\sin^2 x + \cos^2 x)\) и \(\sin 2x\) на \(2\sin x\cos x\).

      \(4\cos^2 x + 5(2\sin x\cos x) - 10\sin^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)\)

      \(4\cos^2 x + 10\sin x\cos x - 10\sin^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x\)

   2. Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону и приводим подобные.

      \(4\cos^2 x - 2\cos^2 x + 10\sin x\cos x - 10\sin^2 x - 2\sin^2 x = 0\)

      \(2\cos^2 x + 10\sin x\cos x - 12\sin^2 x = 0\)

   3. Шаг 3: Делим обе части на \(2\cos^2 x\) (при условии, что \(\cos x ≠ 0\)).

      Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\). Подставим это в исходное уравнение: \(4(0)^2 + 5 \sin(\pi + 2\pi n) - 10(1)^2 = 2\) → \(-10 = 2\) (неверно). Значит \(\cos x ≠ 0\).

      \(1 + 5\frac{\sin x}{\cos x} - 6\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0\)

      \(1 + 5\text{tg} x - 6\text{tg}^2 x = 0\)

   4. Шаг 4: Вводим замену переменной.

      Пусть \(u = \text{tg} x\).

      \(-6u^2 + 5u + 1 = 0\)

      Или \(6u^2 - 5u - 1 = 0\).

   5. Шаг 5: Решаем квадратное уравнение.

      Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(6)(-1) = 25 + 24 = 49\).

      \(√ D = 7\).

      Корни уравнения:

      \(u_1 = rac{-b + √ D}{2a} = rac{5 + 7}{2  6} = rac{12}{12} = 1\).

      \(u_2 = rac{-b - √ D}{2a} = rac{5 - 7}{2  6} = rac{-2}{12} = -rac{1}{6}\).

   6. Шаг 6: Возвращаемся к исходной переменной \(x\).

      У нас два случая:

      • \( ext{tg} x = 1\) → \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), где \(n \in ℤ\).
      • \( ext{tg} x = -rac{1}{6}\) → \(x = \text{arctg}(-rac{1}{6}) + \pi k\), где \(k \in ℤ\).

   Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\) и \(x = \text{arctg}(-rac{1}{6}) + \pi k\), где \(n, k \in ℤ\).