2. Дано: СВ — касательная; ∠C = 20°. Найти: углы треугольника AOB.

Дано:

• CB — касательная к окружности в точке B.
• ∠C = 20°.

Найти: Углы треугольника AOB.

Решение:

1. Так как CB — касательная, то радиус OB перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, ∠OBC = 90°.
2. Рассмотрим треугольник OBC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
3. ∠BOC + ∠OBC + ∠C = 180°.
4. ∠BOC + 90° + 20° = 180°.
5. ∠BOC = 180° - 90° - 20° = 70°.
6. ∠AOB и ∠BOC — смежные углы, если точки A, O, C лежат на одной прямой. По чертежу видно, что A, O, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AOC = 180°.
7. ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC.
8. ∠AOB + 70° = 180°.
9. ∠AOB = 180° - 70° = 110°.
10. Теперь найдем углы треугольника AOB. Треугольник AOB — равнобедренный, так как OA = OB (радиусы).
11. ∠OAB = ∠OBA (углы при основании).
12. ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°.
13. 2 * ∠OAB + 110° = 180°.
14. 2 * ∠OAB = 180° - 110° = 70°.
15. ∠OAB = 70° / 2 = 35°.
16. ∠OBA = 35°.

Ответ: ∠OAB = 35°, ∠OBA = 35°, ∠AOB = 110°.