2. Даны два конуса. Диаметр основания и образующая первого конуса равны соответственно 12 и 8, а второго — 14 и 9. Сравните объёмы этих конусов.

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

Для первого конуса:

1. Диаметр основания \( d_1 = 12 \), значит, радиус \( r_1 = \frac{12}{2} = 6 \).
2. Образующая \( l_1 = 8 \).
3. Найдем высоту \( h_1 \) по теореме Пифагора: \( h_1^2 = l_1^2 - r_1^2 \)
   \( h_1^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28 \)
   \( h_1 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \).
4. Объём первого конуса: \( V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (2\sqrt{7}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 2\sqrt{7} = 24\pi\sqrt{7} \).

Для второго конуса:

1. Диаметр основания \( d_2 = 14 \), значит, радиус \( r_2 = \frac{14}{2} = 7 \).
2. Образующая \( l_2 = 9 \).
3. Найдем высоту \( h_2 \) по теореме Пифагора: \( h_2^2 = l_2^2 - r_2^2 \)
   \( h_2^2 = 9^2 - 7^2 = 81 - 49 = 32 \)
   \( h_2 = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \).
4. Объём второго конуса: \( V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (7)^2 (4\sqrt{2}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 4\sqrt{2} = \frac{196\pi\sqrt{2}}{3} \).

Сравним объёмы:

\( V_1 = 24\pi\sqrt{7} \approx 24 \cdot 3.14 \cdot 2.646 \approx 198.8 \)

\( V_2 = \frac{196\pi\sqrt{2}}{3} \approx \frac{196 \cdot 3.14 \cdot 1.414}{3} \approx \frac{870}{3} \approx 290 \)

Таким образом, \( V_2 > V_1 \).

Ответ: Объём второго конуса больше объёма первого.