4. Решите уравнения: a) \( \sqrt[3]{\frac{3}{2x-11}} = \frac{1}{13} \); б) \( \cos \left( \frac{\pi(4x+2)}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решение:

а) \( \sqrt[3]{\frac{3}{2x-11}} = \frac{1}{13} \)

1. Возведем обе части уравнения в куб:
2. \( \frac{3}{2x-11} = \left(\frac{1}{13}\right)^3 \)
3. \( \frac{3}{2x-11} = \frac{1}{2197} \)
4. Выполним перекрестное умножение:
5. \( 3 \cdot 2197 = 1 \cdot (2x-11) \)
6. \( 6591 = 2x - 11 \)
7. Перенесем 11 в левую часть:
8. \( 6591 + 11 = 2x \)
9. \( 6602 = 2x \)
10. Разделим обе части на 2:
11. \( x = \frac{6602}{2} = 3301 \)

Ответ: \( x = 3301 \)

б) \( \cos \left( \frac{\pi(4x+2)}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Общее решение уравнения \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) имеет вид:

\( \alpha = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Подставим \( \alpha = \frac{\pi(4x+2)}{6} \):

\( \frac{\pi(4x+2)}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)

Разделим все на \( \pi \):

\( \frac{4x+2}{6} = \pm \frac{1}{6} + 2k \)

Умножим все на 6:

\( 4x+2 = \pm 1 + 12k \)

Рассмотрим два случая:

1. С плюсом: \( 4x+2 = 1 + 12k \)
2. \( 4x = 1 - 2 + 12k \)
3. \( 4x = -1 + 12k \)
4. \( x = \frac{-1 + 12k}{4} \)
5. \( x = \frac{12k-1}{4} \)
6. С минусом: \( 4x+2 = -1 + 12k \)
7. \( 4x = -1 - 2 + 12k \)
8. \( 4x = -3 + 12k \)
9. \( x = \frac{-3 + 12k}{4} \)
10. \( x = \frac{12k-3}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{12k-1}{4} \) или \( x = \frac{12k-3}{4} \), где \( k \) — любое целое число.