2°. Даны два треугольника АВС и МРK, ∠A = ∠M = 90°, ∠C = ∠K, BC = KP, AC = 1/2 BC. Найдите угол Р.

Решение:

Рассмотрим треугольники АВС и МРК.

У нас есть:

• \[ \angle A = \angle M = 90^° \]
• \[ \angle C = \angle K \]
• \[ BC = KP \]
• \[ AC = \frac{1}{2} BC \]

Из равенства двух углов следует, что треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам): < ΔABC ~ ΔMPK.

Из подобия следует, что соответствующие стороны пропорциональны:

\[ \frac{AC}{MK} = \frac{BC}{PK} = \frac{AB}{MP} \]

Нам дано, что < BC = KP. Подставим это в пропорцию:

\[ \frac{AC}{MK} = \frac{BC}{BC} = \frac{AB}{MP} \]

\[ \frac{AC}{MK} = 1 \]

Отсюда следует, что < AC = MK.

Теперь рассмотрим < ΔABC. У нас есть < ∠A = 90°.

Также дано < AC = 1⁄₂ BC. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, < ∠B = 30°.

Так как < ∠C = ∠K, и в < ΔABC: < ∠C = 180° - 90° - 30° = 60°.

Значит, < ∠K = 60°.

Теперь рассмотрим < ΔMPK. У нас есть:

• < = 90°
• < ∠K = 60°

Найдем угол Р:

\[ \angle P = 180^° - \angle M - \angle K = 180^° - 90^° - 60^° = 30^° \]

Ответ: ∠P = 30°