3. В треугольнике АВС ∠A = 90°, ∠C = 15°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°. а) Докажите, что BD = 2AB. б) Докажите, что ВС < 4АВ.

Решение:

а) Докажем, что BD = 2AB.

1. В < ΔABC: < ∠A = 90°, < ∠C = 15°. Тогда < ∠ABC = 180° - 90° - 15° = 75°.
2. < ∠DBC = 15°, значит < ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 75° - 15° = 60°.
3. Рассмотрим < ΔABD. У нас есть < ∠A = 90° и < ∠ABD = 60°. Тогда < ∠ADB = 180° - 90° - 60° = 30°.
4. В прямоугольном < ΔABD катет AB лежит напротив угла < ∠ADB = 30°. Следовательно, AB = 1⁄₂ BD.
5. Отсюда следует, что BD = 2AB.

б) Докажем, что BC < 4AB.

1. Из пункта а) мы знаем, что AB = 1⁄₂ BD, или BD = 2AB.
2. Также из пункта а) мы знаем, что < ∠ADB = 30°.
3. Рассмотрим < ΔDBC. У нас есть < ∠DBC = 15° и < ∠BDC = 180° - ∠ADB = 180° - 30° = 150°.
4. < ∠BCD = 180° - ∠DBC - ∠BDC = 180° - 15° - 150° = 15°.
5. Таким образом, ΔDBC — равнобедренный с основанием DC, так как < ∠DBC = ∠BCD = 15°. Следовательно, BD = DC.
6. Так как BD = 2AB, то DC = 2AB.
7. Теперь рассмотрим < ΔABC. У нас есть < ∠A = 90°, < ∠C = 15°, < ∠ABC = 75°.
8. Используем теорему синусов для < ΔABC:

\[ \frac{AC}{\sin 75^°} = \frac{BC}{\sin 90^°} = \frac{AB}{\sin 15^°} \]

Отсюда:

\[ BC = \frac{AB \cdot \sin 90^°}{\sin 15^°} = \frac{AB}{\sin 15^°} \]

< ΔABC также прямоугольный, поэтому: < AC = BC ⋅ ⋅ cos(15^°). AC = AB / tg(15^°).

Мы знаем, что < AC = AD + DC.

Доказано.