2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A(−6; 1), B(0; 5), C(6; −4), D(0; −8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Найдём векторы сторон: \(\overrightarrow{AB}=(6;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(6;-9)\), \(\overrightarrow{CD}=(-6;-4)\), \(\overrightarrow{DA}=(-6;9)\).

Так как \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\), противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Проверим смежные стороны: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot6+4\cdot(-9)=0\). Значит, угол B прямой. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Диагонали прямоугольника пересекаются в середине каждой диагонали. Середина AC имеет координаты \(\left(\frac{-6+6}{2};\frac{1+(-4)}{2}\right)=(0; -\frac32)\).

Ответ: ABCD — прямоугольник; точка пересечения диагоналей — \((0; -\frac32)\).