4. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N так, что AM=MB, AN:ND=3:4. Выразите векторы CM, CN, MN через векторы \(\vec x=\vec{CB}\), \(\vec y=\vec{CD}\).

Пусть \(A\) — начало отсчёта. В параллелограмме \(\vec{AB}=-\vec y\), поскольку \(\vec{CD}=-\vec{AB}\), и \(\vec{AD}=-\vec x\), поскольку \(\vec{CB}=-\vec{AD}\). Тогда \(\vec{AC}=-\vec x-\vec y\).

Так как \(AM=MB\), точка M — середина AB, поэтому \(\vec{AM}=-\frac12\vec y\).

Из отношения \(AN:ND=3:4\) следует \(\vec{AN}=\frac37\vec{AD}=-\frac37\vec x\).

Вычислим искомые векторы:

• \(\vec{CM}=\vec{CA}+\vec{AM}=\vec x+\vec y-\frac12\vec y=\vec x+\frac12\vec y\);
• \(\vec{CN}=\vec{CA}+\vec{AN}=\vec x+\vec y-\frac37\vec x=\frac47\vec x+\vec y\);
• \(\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AN}=\frac12\vec y-\frac37\vec x\).

Ответ: \(\vec{CM}=\vec x+\frac12\vec y\), \(\vec{CN}=\frac47\vec x+\vec y\), \(\vec{MN}=-\frac37\vec x+\frac12\vec y\).