2. Даны пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и пересекает плоскость $\beta$ в точке $A$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$. Докажите, что $AB$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Даны пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и пересекает плоскость…$ Фото задания

2. Даны пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и пересекает плоскость $\beta$ в точке $A$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$. Докажите, что $AB$ — линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Accepted Answer

Так как $A\in a$ и $a\subset\alpha$, то $A\in\alpha$. По условию также $A\in\beta$. Следовательно, $A\in\alpha\cap\beta$.

Аналогично, $B\in b$ и $b\subset\beta$, поэтому $B\in\beta$. По условию $B\in\alpha$, значит, $B\in\alpha\cap\beta$.

Точки $A\neq B$, поскольку $A\in a\subset\alpha$, а $B$ — точка пересечения $b$ с $\alpha$; прямая $AB$ проходит через две общие точки плоскостей. Пересечение двух различных плоскостей, если оно непусто, является прямой. Поэтому прямая их пересечения проходит через $A$ и $B$ и совпадает с $AB$.

Ответ: $\alpha\cap\beta=AB$.