3. Постройте: а) точки пересечения прямой \(PM\) с плоскостями \((DCC_1)\) и \((AA_1B_1)\); б) линию пересечения плоскостей \((MNP)\) и \((AA_1B_1)\); в) сечение многогранника плоскостью \((MNP)\).

На рисунке точка \(M\) лежит на ребре \(CD\), точка \(N\) — на ребре \(BB_1\), а точка \(P\) — на ребре \(AA_1\).

а) Плоскость \((DCC_1)\) содержит ребро \(CD\), значит, \(M\in(DCC_1)\). Поэтому \(PM\cap(DCC_1)=M\). Точка \(P\) принадлежит плоскости \((AA_1B_1)\), следовательно, \(PM\cap(AA_1B_1)=P\).

б) Точки \(N\) и \(P\) лежат в плоскости \((MNP)\), а также в плоскости \((AA_1B_1)\), поскольку принадлежат соответственно рёбрам \(BB_1\) и \(AA_1\). Следовательно, линия пересечения этих плоскостей — прямая \(NP\).

в) Сечение ограничено отрезками \(PN\), \(NM\) и \(MP\): точки \(P,N,M\) лежат на рёбрах многогранника, и плоскость \((MNP)\) пересекает его по треугольнику \(PNM\).