2. Даны векторы a⃗ = 2i⃗ − 4j⃗ − 2k⃗, b⃗ = 7i⃗ + 3j⃗, c⃗ = 3i⃗ + 5j⃗ − 7k⃗. Найти: а) смешанное произведение трёх векторов (a⃗, 2b⃗, 3c⃗); б) модуль векторного произведения [3a⃗, −7b⃗]; в) будут ли коллинеарны или ортогональны векторы −2a⃗ и c⃗.

Запишем векторы координатами: \(\vec a=(2,-4,-2)\), \(\vec b=(7,3,0)\), \(\vec c=(3,5,-7)\).

а) Вынесем множители из смешанного произведения: \((\vec a,2\vec b,3\vec c)=6(\vec a,\vec b,\vec c)\). Имеем \(\vec b\times\vec c=(-21,49,26)\), поэтому \((\vec a,\vec b,\vec c)=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)=-42-196-52=-290\). Следовательно, \((\vec a,2\vec b,3\vec c)=6\cdot(-290)=-1740\).

б) \(|[3\vec a,-7\vec b]|=21|\vec a\times\vec b|\). При этом \(\vec a\times\vec b=(6,-14,34)\), откуда \(|\vec a\times\vec b|=\sqrt{6^2+(-14)^2+34^2}=\sqrt{1388}=2\sqrt{347}\). Значит, \(|[3\vec a,-7\vec b]|=42\sqrt{347}\).

в) \(-2\vec a=(-4,8,4)\). Скалярное произведение с \(\vec c\): \((-2\vec a)\cdot\vec c=-4\cdot3+8\cdot5+4\cdot(-7)=0\). Следовательно, векторы ортогональны. Они не коллинеарны, поскольку их координаты не пропорциональны.

Ответ: а) \(-1740\); б) \(42\sqrt{347}\); в) ортогональны, не коллинеарны.