3. Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C и D. Вычислить: а) площадь грани ACD; б) объём пирамиды ABCD, если A(1, 3, 1), B(−1, 4, 6), C(−2, −3, 4), D(3, 3, −4).

Найдём векторы \(\overrightarrow{AC}=(-3,-6,3)\), \(\overrightarrow{AD}=(2,0,-5)\), \(\overrightarrow{AB}=(-2,1,5)\).

а) Векторное произведение \(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=(30,-9,12)\). Его длина равна \(\sqrt{30^2+(-9)^2+12^2}=\sqrt{1125}=15\sqrt5\). Площадь грани — половина этой длины: \(S_{ACD}=\frac{15\sqrt5}{2}\).

б) Объём тетраэдра равен одной шестой модуля смешанного произведения. Используя найденное векторное произведение, получаем \(\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD})=-60-9+60=-9\). Поэтому \(V=\frac{|-9|}{6}=\frac32\).

Ответ: а) \(\frac{15\sqrt5}{2}\); б) \(\frac32\).