2. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

Пусть диагональ BD параллелограмма ABCD образует углы \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle BDC = 50^{\circ} \).

Так как ABCD — параллелограмм, то стороны AB и CD параллельны. Диагональ BD является секущей для параллельных прямых AB и CD.

Следовательно, накрест лежащие углы \( \angle ABD \) и \( \angle BDC \) должны быть равны. Однако, по условию \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle BDC = 50^{\circ} \).

Это означает, что в условии, скорее всего, имелись в виду углы, образованные диагональю BD с прилежащими сторонами. Предположим, что \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle DBC = 50^{\circ} \) (или \( \angle ADB = 50^{\circ} \)).

Рассмотрим первый вариант: \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle DBC = 50^{\circ} \).

Угол параллелограмма \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ} \).

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \).

Тогда \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \).

Меньший угол параллелограмма равен \( 65^{\circ} \).

Рассмотрим второй вариант: \( \angle ABD = 65^{\circ} \) и \( \angle ADB = 50^{\circ} \).

В треугольнике ABD:

\( \angle BAD = 180^{\circ} - (\angle ABD + \angle ADB) = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ} \).

Угол \( \angle BAD \) является одним из углов параллелограмма.

Сумма смежных углов в параллелограмме равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ} \).

Другие углы параллелограмма равны \( \angle BCD = \angle BAD = 65^{\circ} \) и \( \angle CDA = \angle ABC = 115^{\circ} \).

Меньшие углы параллелограмма равны \( 65^{\circ} \).

В обоих допустимых случаях меньший угол параллелограмма равен 65°.

Ответ: 65°.