3. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где AB = 5, \( \angle A = 30^{\circ} \), основания AD = 9 и BC = 3. Нам нужно найти площадь трапеции.

Формула площади трапеции: \( S = \frac{a+b}{2}h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

1. Найдем высоту трапеции. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH:

   \( \sin(\angle A) = \frac{BH}{AB} \)

   \( BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 5 \cdot \sin(30^{\circ}) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \)

   Итак, высота трапеции \( h = 2.5 \).

2. Найдем площадь трапеции. Подставим значения оснований и высоты в формулу площади:

   \( S = \frac{AD+BC}{2} \cdot BH = \frac{9+3}{2} \cdot 2.5 = \frac{12}{2} \cdot 2.5 = 6 \cdot 2.5 = 15 \)

Ответ: 15.