2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12√2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра \(h\) и диаметру основания \(2r\). Проекция его диагонали на плоскость основания равна диаметру \(2r\).

Длина диагонали равна \(12\sqrt2\) дм, угол с плоскостью основания — 45°. Тогда её проекция на плоскость основания равна \(12\sqrt2\cos45°=12\) дм, а перпендикулярная составляющая равна \(12\sqrt2\sin45°=12\) дм.

Следовательно, \(2r=12\), то есть \(r=6\) дм, и \(h=12\) дм.

Площадь полной поверхности: \(S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot6^2+2\pi\cdot6\cdot12=216\pi\) дм².

Ответ: 216π дм².