2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна \(12\sqrt{2}\) дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол \(45^\circ\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\). Диагональ равна \(12\sqrt{2}\) дм.

Проекция диагонали на плоскость основания равна диаметру основания. Поэтому \(2r=12\sqrt{2}\cos45^\circ=12\) дм, откуда \(r=6\) дм.

Высота равна перпендикулярной составляющей диагонали: \(h=12\sqrt{2}\sin45^\circ=12\) дм.

Полная площадь поверхности:

\(S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\cdot6^2+2\pi\cdot6\cdot12=216\pi\text{ дм}^2.\)

Ответ: \(216\pi\) дм².