2. Диагональ основания правильной пирамиды ТАВСД и её высота равны 4√2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

1. Находим сторону основания: Основание правильной пирамиды - квадрат. Диагональ квадрата \( d = a \sqrt{2} \), где \( a \) - сторона квадрата. Так как диагональ равна \( 4\sqrt{2} \), то \( a \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \). Следовательно, \( a = 4 \).
2. Находим периметр основания: Периметр квадрата \( P = 4a \). \( P = 4 \cdot 4 = 16 \).
3. Находим апофему: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), расстоянием от центра основания до середины стороны (r) и апофемой (h_a). Расстояние от центра квадрата до середины стороны равно половине стороны, то есть \( r = a / 2 = 4 / 2 = 2 \). Высота пирамиды дана как \( H = 4\sqrt{2} \). По теореме Пифагора: \( h_a^2 = H^2 + r^2 \). \( h_a^2 = (4\sqrt{2})^2 + 2^2 = 32 + 4 = 36 \). Следовательно, \( h_a = \sqrt{36} = 6 \).
4. Находим площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности пирамиды \( S_{бок} = (1/2) \cdot P \cdot h_a \). \( S_{бок} = (1/2) \cdot 16 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48 \).

Ответ: 48