2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, точка E лежит на стороне CD так, что DE : EC = 2 : 5. Выразите вектор OE через векторы x = AB и y = AD.

Пусть \(A\) — начало отсчёта. Тогда радиус-векторы вершин можно записать так: \(B=\vec{x}\), \(D=\vec{y}\), \(C=\vec{x}+\vec{y}\).

Точка \(E\) делит отрезок \(DC\) в отношении \(DE:EC=2:5\), поэтому \(\overrightarrow{DE}=\frac{2}{7}\overrightarrow{DC}=\frac{2}{7}\vec{x}\). Следовательно, радиус-вектор точки \(E\) равен \(\vec{y}+\frac{2}{7}\vec{x}\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому радиус-вектор точки \(O\) равен \(\frac{1}{2}(\vec{x}+\vec{y})\).

Вычтем радиус-вектор \(O\) из радиус-вектора \(E\): \(\overrightarrow{OE}=\vec{y}+\frac{2}{7}\vec{x}-\frac{1}{2}(\vec{x}+\vec{y})=\frac{1}{2}\vec{y}-\frac{3}{14}\vec{x}\).

Ответ: \(\overrightarrow{OE}=-\frac{3}{14}\vec{x}+\frac{1}{2}\vec{y}\).