3. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 12 см, а большая составляет с большим основанием угол 45°. Найдите основания трапеции, если её средняя линия равна 20 см.

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции перпендикулярна основаниям, значит, высота трапеции равна 12 см.

Опустим перпендикуляр от конца меньшего основания на большее. Получится прямоугольный треугольник с углом 45° у большего основания. Его горизонтальный катет равен высоте: \(12\cdot\cot 45°=12\) см. Это разность оснований.

По формуле средней линии \(\frac{a+b}{2}=20\), поэтому сумма оснований равна 40 см. Обозначив большее и меньшее основания через \(a\) и \(b\), получим: \(a+b=40\), \(a-b=12\). Складывая равенства, находим \(2a=52\), откуда \(a=26\) см; тогда \(b=40-26=14\) см.

Ответ: основания равны 14 см и 26 см.